$f\left(x\right)=sinx$ হলে, $f^{\left(11\right)}\left(0\right)$ এর মান কত?

প্রশ্নে বলা হয়েছে \( f(x) = \sin x \) এবং আমাদের বের করতে হবে \( f^{(11)}(0) \) এর মান, যেখানে \( f^{(11)}(x) \) হলো \( f(x) \) এর 11তম ডেরিভেটিভ।

### ধাপ ১: \( \sin x \) এর ডেরিভেটিভের প্যাটার্ন
প্রথমে আমরা দেখি \( \sin x \) এর ধারাবাহিক ডেরিভেটিভগুলো কীভাবে পরিবর্তিত হয়:

1. \( f(x) = \sin x \)
2. \( f'(x) = \cos x \)
3. \( f''(x) = -\sin x \)
4. \( f'''(x) = -\cos x \)

এখন, যদি আমরা আরও এগিয়ে যাই, তাহলে দেখা যায় যে ডেরিভেটিভগুলি প্রতি চার পদ পরে পুনরাবৃত্ত হয়:

- \( f^{(4)}(x) = \sin x \)
- \( f^{(5)}(x) = \cos x \)
- \( f^{(6)}(x) = -\sin x \)
- \( f^{(7)}(x) = -\cos x \)

এভাবে \( f^{(4n)}(x) = \sin x \), \( f^{(4n+1)}(x) = \cos x \), \( f^{(4n+2)}(x) = -\sin x \), এবং \( f^{(4n+3)}(x) = -\cos x \) হবে।

### ধাপ ২: 11তম ডেরিভেটিভ নির্ণয়
আমরা যদি \( 11 \) এর মান নিয়ে দেখি, তাহলে:

\[
11 \mod 4 = 3
\]

এতে বোঝা যায় যে \( f^{(11)}(x) = -\cos x \)।

### ধাপ ৩: \( f^{(11)}(0) \) নির্ণয়
এখন, \( f^{(11)}(0) = -\cos(0) \)।

আমরা জানি \( \cos(0) = 1 \), তাই:

\[
f^{(11)}(0) = -1
\]

### সঠিক উত্তর:
\( f^{(11)}(0) = -1 \)